Az inverzió egy síkgeometriai transzformáció. Ez azt jelenti, hogy a sík egy pontjának megfeleltetünk egy másikat, és a művelet (vagyis az inverzió) végrehajtásakor a kiválasztott pont a megfeleltett pont helyére kerül. Az inverziónál azt is elmondhatjuk, hogy a megfeleltett pont a kiválasztott pont helyére kerül.

A fentieket másképpen úgy lehet fogalmazni, hogy a sík bizonyos pontjai inverz viszonyban vannak egymással. Ezek a pontpárok az inverzió végrehajtásakor felcserélődnek. Vannak olyan pontok is, amelyek saját magukkal cserélődnek fel, vagy egyszerűbben: helyben maradnak. Ezek az ún. fixpontok. Az inverzió fixpontjai egy kört határoznak meg.

Az inverzió nem egyetlen geometria transzformációt jelent. Ugyanúgy nem, ahogyan az eltolás, a forgatás, a nagyítás, a tükrözés is leképezések egy-egy típusát jelentik. Az eltolásnál például meg kell mondanunk, hogy melyik irányba toljuk el a síkot, s azt is, milyen mértékben (például hány centiméterrel). Az inverziónál azt a kört kell megadnunk, amelynek pontjai fixen maradnak. Ez általában azt jelenti, hogy ki kell jelölnünk ennek az ún. alapkörnek a középpontját (a pólust), s meg kell határoznunk a sugarát.

Ha a sík egy olyan pontjára hajtjuk végre az inverziót, amelyik az alapkörön kívül esik, akkor a megfeleltetett pont (vagy másképpen: képpont) az alapkörön belül fog elhelyezkedni. Ez megfordítva is igaz: minden belső pontból külső pont lesz az inverzió végrehajtása után. A körön lévő pontok - megállapodásunk szerint - a körön maradnak.

Észrevehetjük, hogy az inverzió sokban hasonlít az egyenesre való (tengelyes) tükrözéshez. Az egyik hasonlóság, hogy ha egy pontot tükrözünk, majd a kapott képpontot ugyanerre a tengelyre tükrözzük, az eredeti pontot kapjuk vissza. Az inverziónál hasonló a helyzet: ha egy pontra egy ugyanarra a körre való inverziót kétszer végzünk el, akkor a kiindulási pontot kapjuk. (Az ilyen tulajdonságú transzformációkat involutorikus transzformációknak nevezik. Látható, hogy a nem nulla távolságra való eltolás sosem involutorikus, és egy adott pont körüli forgatás is csak akkor az, ha a forgatás szöge 180 fok.)

Egy pont inverz képét még mindig nem definiáltuk egészen. Ha a P pontot akarjuk invertálni, a következő eljárást alkalmazzuk:

• Vesszük az inverzió pólusát képező O pontot és az inverzió sugarát jelképező r számot.

• Kiszámítjuk az r*r/d(O,P) hosszúságot, itt d(O,P) az O és P pont távolságát jelenti.

• A kapott hosszúságot O-ból indulva felmérjük az OP félegyenesre, s a kijelölt pontot értelmezzük úgy, mint a P pont inverz képét. A kapott pontot P'-vel jelöljük.

Az inverzió tulajdonságai

• Az inverzió az egyenesekből egyeneseket vagy köröket, a körökből egyeneseket képez. A póluson átmenő egyenesek képe nem változik meg. A póluson átmenő körök képei a póluson át nem menő egyenesek lesznek. A póluson át nem menő körök a póluson át nem menő körökbe mennek át.

• Az inverzió szögtartó. Ez azt jelenti, hogy ha az inverzió elvégzése előtt két egyenes egy adott szögben metszi egymást, akkor - függetlenül attól, hogy a két egyenesből egyenes vagy kör lesz - az inverzió után is ugyanakkora szöget fog bezárni.

• Az inverzió sugársorokból körsorokat, körsorokból sugársorokat képez. Sugársornak párhuzamos (vagy egy ponton áthaladó) egyenessereget nevezünk. A körsorok definíciója ennél bonyolultabb. Léteznek elliptikus, hiperbolikus és parabolikus körsorok; a parabolikus körsorokban minden kör egyetlen, a hiperbolikus körsorokban minden kör kettő előre megadott pontra illeszkedik.

Az első képen (91 kB) az inverzió középpontját a bal felső sarokban látható sötét kör középpontjába vettük fel. Jól érzékelhető, hogy az inverzió "kifordítja" a körön belüli pontokat a körön kívülre: ezért sötét a kép jobb alsó része. Világosítsuk ki a képernyőt, hogy jobban lássuk a jobb alsó, invertált pixeleket. Ezek a körívekkel határolt szeletek az eredeti képen 1x1 pixel méretűek voltak. Látható, hogy az inverzió a az eredeti távolságoknak még az egymáshoz viszonyított arányát sem tartja meg.

Az eredeti képen mérhető szögek viszont ugyanazok lesznek a transzformált képen is. Ezt a második képen (129 kB) megfigyelhetjük. A kép közepén látható, 4 körívvel határolt fekete rész az a terület, amely eredetileg a képernyőn kívül volt (azaz nem tartozott a grafikához). Az inverzió elvégzése után belülre került, ugyanúgy, mint a végtelen távoli pont is, ami a sötét részen belül fehér színű pontként jelenik meg. A sötét részlet körívei derékszöget zárnak be egymással, csakúgy, mint a képet határoló képernyőszélek az eredeti "képen". (Gondoljuk meg, hogy a fehér pont igazából az inverzió pólusa! A pólus inverz képe a végtelen távoli pont lesz, de ez a fenti képletből is látszik: d(O,P) értékére nullát kapnánk, s a 0-val való osztás a végtelen nagy távolságra utal.) A szögtartást a kép más részein is nyomon követhetjük, például a bal oldalon látható rácsozat szögeinek állandóságán.

A harmadik kép (36 kB) a körsorok és a párhuzamos egyenesek kapcsolatát mutatja be. Az inverzió pólusa a kép középpontja, és sugara viszonylag kicsi. Így lehetséges, hogy szinte a teljes képen az eredeti kép egy egészen kis hányada látszik csak, s az egyes pixelek (főként a kép szélén) nagy méretűek. A számítógép képernyője valójában egy négyzetrács, azaz két egymásra merőleges, párhuzamos sugársor. Az invertált kép két egymásra merőleges (konjugált) körsor lesz. Megmutatható, hogy a körsorok minden köre az inverzió pólusán fog áthaladni.

Látható egy negyedik kép (33 kB) is, sőt, további invertált képek is letölthetők tömörített formában.